Форум по автобезопасности -
автосигнализации

Такие не ставил. Но практически у всех сигналок с автозапуском есть ОГРАНИЧЕНИЕ - если НЕ ЗАКРЫТ КАПОТ, то автозапуск/дистанционный запуск блокируется. Так что пункты 1 и 2 у Вас скорее всего взаимосвязаны. Надо проверить состояние кнопки контроля капота (и, возможно, багажника - раз уж на брелке индицируется и то и другое одновременно. Обломанные, просевшие, залипшие на массу - заменить/отрегулировать/почистить. В общем добиться, чтобы при постановке на охрану крякала один раз, а при снятии - два раза и ничего "лишнего на брелке" при этом не показывала.
по п.3 - практически так у всех сигналок с обратной связью. Обновление инфы на брелке происходит не мгновенно, а ПО СОБЫТИЯМ. А события - нажатия кнопок на брелке, сработки датчиков сиги в охране, запуск/глушение мотора сигой. Ведь в момент нажатия кнопки "постановка на охрану" значок "зажигание вкл" пропадает?